参考视频：非线性控制理论
Lyapunov直接方法
以上就是正定，半正定，负定，半负定的定义。
例子（钟摆）：
对于一个非线性系统，一般来说没有固定的方法找V，但可以从能量入手。
这里说明了$x_1$,$x_2$有界，但不代表$x_1$,$x_2$会随着时间趋向于0,这里李雅普诺夫函数设计的是它的能量，那么$\dot{V}$是能量随时间的变化，它等于0。系统符合能量守恒，自然是稳定的。
在有摩擦力的情况下：
当$x_1$取任意值，$x_2=0$时，$\dot{V} = 0$。这时系统是半负定的，系统稳定，但在这里没有在数学上得出渐进稳定的结论。
不变性原理（The Invariance Principle-LaSalle’s Theorem）
因此我们要引入一个新理论来扩大李雅普诺夫稳定性的判定。
当满足下列三点要求，系统渐进稳定：
- $V(x)$在区域D正定。
- $\dot{V} (x)$在一个区域$R \in D$内半负定。
- $\dot{V} (x)$在R中的任何轨迹不等于0，除了x =0。
因此满足以上三个条件，系统渐进稳定。
另外的例子：
非线性系统稳定性设计
这个方法中a必须知道，而且方法很直接简单粗暴地把非线性的部分抵消掉，但不一定最佳，这种方法叫做反馈系统线性化$(Feedback Linerization)$。
代替方法是李雅普诺夫的直接方法：
这里又设计出两种方案，对这三种方案进行仿真看运行效果。
第一种方案虽然可以稳定，但是u初始值过大，这就是为什么要避免简单粗暴地方式设计控制器。所以才有了下面两项的替代。
其中$u_1$是黄线，$u_2$是粉线，$u_3$是蓝线，$u_3$输出衰减非常慢，很长时间才会趋近于0，这是由于
前面两项由于是指数变化，收敛速度快很多。
非线性反步控制（Nonlinear Backstepping Control）（重要）
这是一个链式控制，力改变物体运动的速度，速度又会导致物体位置上的改变。
为了控制小车沿着指定轨迹行走，需要引入e，并设置控制器使得e最终趋向于0，那么李雅普诺夫函数需要设置为e的函数。要使$\dot{V}_1$满足渐进稳定的条件，可以求得$x_2$的期望值。
我们的新目标是让$x_2$的期望值尽量趋近$x_2$，又需要引入误差$\delta$，目的使其趋向于0，在回代之后，把e去掉。然后建立新的李雅普诺夫函数。这个函数可以保证$\delta$和e都趋近于0。
构建新的李雅普诺夫函数之后，利用渐进稳定原则，可以设出$\dot{V}_2$的形式，从而求得u的解。
验证：
这就是通过反馈系统线性化。最后得到的是一个线性系统。
仿真：
总结
首先，设计系统的目标是轨迹跟踪，让$x_1$跟随设定的$x_{1d}$。而通过u可以作用到$x_2$，通过$x_2$又可以控制$x_1$，这是一个控制链。因此设计控制器需要两步：第一步是通过让$x_1$趋近 $x_{1d}$来设计$x_{2d}$，这个可以理解为中间输入。第二步是通过让$x_2$趋近$x_{2d}$来设计u。
非线性自适应控制器（Nonlinear Adaptive Controller）
这个就是只有一层的反馈控制，用的是之前的反步控制法。前提是参数a必须已知，那么如果a不是已知怎么办？
由于参数a未知，我们可以设一个预设a。
然后再根据李雅普诺夫直接方法，并采用Lyapunov-like引理把公式中未证明的e趋近于0给证明出来，把a的解出来的预设值代入u中，就可以得到输入了。
这就是自适应控制，无论a怎么变，系统都能够很好地跟随预设值的变化。使得预设的a在一定程度上跟上实际的a，并使e趋近于0。
练习：如果上一章的第一个系统的参数α未知，如何进行自适应控制?
总结：按照反步法先设计一个控制器。设计好后，控制器中参数有未知项。然后再设计一个Lyapunov函数，求导，并把设计好的控制器（输入的未知量要替换成估计值，控制器中的e是实际值）代入其中，来求未知参数的估计值，通过不断调整估计值来使误差收敛。根据Barbalats lemma判定Lyapunov函数中除未知量以外的其他变量，都会在t趋近于无穷时收敛到0，从而得出改估计值以及控制器可以使系统渐近稳定，也就完成了基于反步法的自适应控制器设计。
非线性鲁棒控制器（Robust Controller）_滑模控制（Sliding Mode）
鲁棒控制器会存在有界的误差（例如：空调系统、巡航系统）。
在鲁棒控制中，上一章变化的a值会更加苛刻，它并不是常数，而是一个变化的有界量。
这里设了一个$\rho (x)>|f(x)|$，然后设出一个u，可以得出系统稳定。
然后引入松弛变量$S(t)$，可以解出$V(t)$的最大值，从而解出$e(0)$的最大值是一个随着时间指数衰减的函数，也就证明了渐进稳定。这种u的设法是可行的。
这里用相平面分析，如果不看后面两项，相平面上的曲线是一条过原点单调递减的直线。最后一项用来抵消第二项，容易证明e小于0时，e的导数一定大于0，e大于0时，e的导数一定小于0，因此0是e唯一的稳定点。这就是滑模控制(Sliding Mode)。可以看到这种控制不需要知道$f(x)$中确切的参数值，只需知道它的上界即可，满足鲁棒控制的要求。
设计控制器u时只需要找到一个恒大于$f(x)$的函数即可。
非线性鲁棒控制器（Robust Controller）_高增益和高频控制器（High Gain and High Frequency Controller）
通过设置辅助的$u_{aux}$控制器，可以达到很好的控制效果，上一章令
$$
u_{aux}=\rho \frac{e}{|e|}
$$
这是滑膜控制，它的缺点是u的变化幅度过大，会给执行器带来很大的挑战。接下来介绍两种新的辅助控制器：
$$
u_{aux2}= \frac{1}{\epsilon} \rho^2 e ，\epsilon>0
$$
这就是High Gain，用足够大的输入抵消不确定性。
$$
u_{aux3}= \frac{\rho^2 e}{\rho|e| + \epsilon}，\epsilon>0
$$
这里当$\epsilon=0$时是Silding Mode。当$\epsilon \neq 0$时，$|u_{aux3}| < \rho$，和滑膜控制相比，切换不再那么剧烈，更加平缓一些。
以上就是第二种鲁棒控制器的证明，最后可以看到稳态误差不是一个趋近于0的结果，但误差会小于一个值，当$\epsilon$取值较小可以有效减小稳态误差，但是会给执行机构u带来很大的负担，需要权衡。第三种鲁棒控制器情况类似，因为也是在正负之间跳动，变换频率很高，所以是High Frequency：
可以看到，鲁棒控制器的任务主要是找$\rho (x)>|f(x)|$，确定方案，然后确定是否找$\epsilon$，以及对应值。
鲁棒控制器分析比较
根据题目，我们提供五种控制器方案看实现的效果。
误差时间响应：
输入：
结论：
