拉普拉斯变换

发布日期: 2021-02-15

更新日期: 2021-02-19

阅读本文之前，建议先阅读我的另一篇文章《傅里叶级数与傅里叶变换公式推导》，这是本文的基础。

另外可参考视频【中文翻译配音】3D动画详细解释傅里叶与拉普拉斯变换！以及珂学原理」No. 26「拉普拉斯变换了什么以及傅里叶变换的直观解释

拉普拉斯变换和傅里叶变换的联系

首先，列出傅里叶变换的公式：
$$
F(ω) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt
$$
变换条件：狄利克雷条件，通俗来说，没办法表示一些持续递增的函数，因此会导致$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt$的结果趋于无穷。

这时，我们对$f(t)$先进行处理，乘上一个衰减因子$e^{-\sigma t}(\sigma>0)$，使其在无穷远处衰减为0。式子变为：
$$
F(ω) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(i\omega+\sigma) t}dt
$$

$$
L(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}dt
$$

这里我们在工程上只考虑t=0之后的信号变换，因此积分下限为0。并且可以理解为把原函数分解为了$e^{\sigma t}\sin\omega x$和$e^{\sigma t}\sin\omega x$的形式，这样就能解决函数无穷远处无穷大的问题。即傅里叶变换是一个正弦扫描器，而拉普拉斯变换是一个正弦和指数扫描器。

因此，拉普拉斯的函数是一个复平面函数，是三维的：

其中截取其中的$\sigma = 0$的平面就是傅里叶变换的函数。

拉普拉斯变换的收敛域

收敛域的定义：在收敛域中，存在$\sigma$，使得$f(t)e^{-\sigma t}$为收敛函数，从使得$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(i\omega+\sigma) t}$收敛。

也就是说，当$\sigma $足够大使得$f(t)e^{-\sigma t}$在无穷远处收敛为0时，此处为收敛域，当$\sigma$小于某一个阈值时为发散域。

通常我们非常关注拉普拉斯变换的极点，这时拉普拉斯变换的作用就体现出来了。很多系统，例如RLC电路，弹簧上的质量，以及普遍的控制系统会产生正弦和指数输出，因此需要比傅里叶变换更强大的工具去分析它们。极点的实部就代表了函数包含的指数项，虚部代表函数包含的三角函数项的频率。在自动控制系统中，出现了虚轴往右的极点，即代表有不衰减甚至增大的信号，系统不稳定。

拉普拉斯变换的应用

常用拉普拉斯变换公式

$$
\mathscr{L}(e^{-at}) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-st}dt = -\frac 1 {a+s}e^{-(a+s)t}|_0^{\infty} = \frac 1 {a+s}
$$

$$
\mathscr{L}(u(t)) = \frac 1 s
$$

$$
\mathscr{L}(\delta(t)) = \int_0^{+\infty} \delta(t)e^{-st}dt = 1
$$

$$
\mathscr{L}(t) = \frac 1 {s^2}
$$

$$
\mathscr{L}(\frac {t^2} 2) = \frac 1 {s^2}
$$

$$
\mathscr{L}(\frac {t^n} {n!}) = \frac 1 {s^{n+1}}
$$

$$
\mathscr{L}(te^{-at}) = \frac 1 {(s+a)^2}
$$

$$
\mathscr{L}(sinωt) = \frac ω {s^2+ω^2}
$$

$$
\mathscr{L}(cosωt) = \frac s {s^2+ω^2}
$$

$$
\mathscr{L}(e^{-at}sinωt) = \frac ω {(s+a)^2+ω^2}
$$

$$
\mathscr{L}(e^{-at}cosωt) = \frac {s+a} {(s+a)^2+ω^2}
$$

性质

拉普拉斯变换是线性变换，也就是说符合叠加原理：
$$
\mathscr{L}(af(t) + bg(t)) = aF(s)+bG(s)
$$
求导：
$$
\mathscr{L}(f’(t))= \int_0^{+\infty}f’(t)e^{-st}dt = f(t)e^{-st}|_0^{+\infty} -\int_0^{+\infty}f(t)(-se^{-st})dt = sF(s)-f(0)=sF(s)
$$
同理，积分:
$$
\mathscr{L}(\int_0^t f(t)dt) = \frac {F(s)} s
$$
卷积：
$$
\mathscr{L}(f(t)\otimes g(t)) = F(s)G(s)
$$
这些在解微分方程（描述动态世界的数学手段）等方面大大简化了运算，因此拉普拉斯变换是方便快捷的分析工具。